Optimización de funciones

Optimización de funciones

Una de las aplicaciones de las derivadas es la optimización de funciones. Consiste en calcular los máximos y mínimos de una función. Recordamos que una función presenta un máximo o mínimo si su derivada es igual a cero:

En los ejercicios de optimización se aplican siempre lo siguientes pasos:

1. Identificamos la función objetivo que queremos maximizar o minimizar. Suele venir dada en función de dos variables. Por ejemplo:

2. Identificamos una relación entre las variables, llamada ligadura. Por ejemplo:

3. Sustituimos la ligadura en la función y la expresamos en función de una sola variable:

4. Derivamos e igualamos a cero para calcular el punto en el que la función presenta un máximo o mínimo y el valor de la función en ese punto:

5. Estudiamos el signo de la función para confirmar si se trata de un máximo o de un mínimo:

Presenta un mínimo en 

Ejercicios resueltos

1. Se tienen 20m de marco metálico para construir una valla publicitaria rectangular. El terreno donde se quiere instalar la valla es fangoso y, al colocarla, se hunde una altura , que equivale a la quinta parte de la anchura de la valla. Calcula las medidas de la valla de forma que el área visible sea la máxima posible.

Solución

 

La función a maximizar es el área visible de la valla, que corresponde a la función:

La relación entre las variables se saca del valor del perímetro:

Sustituimos en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las medidas de la valla:

El área máxima de la valla es:

 

2. Partiendo en dos trozos un alambre recto de 340cm de longitud, se construyen un cuadrado y un rectángulo. Sabiendo que la base del rectángulo mide el doble que su altura, calcule las longitudes de cada uno de los trozos de alambre para que la suma de las áreas sea mínima.

Solución

 

La función a maximizar es la suma de las áreas:

La relación entre las variables es la siguiente:

Sustituimos en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las medidas:

Las longitudes de los trozos de alambre son:

 

3. La sección de un túnel tiene la forma de un rectángulo sobre el que se apoya un semicírculo. Si el perímetro de dicha sección es de 18 metros. ¿Cuál es el radio del semicírculo para que el área de la sección sea máxima?

Solución

 

La función a maximizar es el área de la sección, que es la suma del área del rectángulo y de media circunferencia.

La relación entre las variables se saca a partir del perímetro:

Se sustituye en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las medidas:

Confirmamos que la función presenta un máximo:

 

4. Determine el volumen máximo posible de un cilindro circular recto si el área total de su superficie, incluyendo las dos bases circulares, es de .

Solución

 

La función a maximizar es el volumen del cilindro:

La ligadura, o relación entre las variables, se saca del área total, que corresponde a la suma de las dos bases y del rectángulo lateral:

Sustituimos en la función:

Derivamos e igualamos a cero:

Confirmamos que la función presenta un máximo: 

 

Vídeos complementarios