Integrales casi inmediatas

Introducción a las integrales casi inmediatas.

Las integrales casi inmediatas son parecidas a las inmediatas, pero con una dificultad añadida: hay que modificar de alguna manera la expresión para poder integrarla.

El problema viene de que suelen ser funciones compuestas. Por tanto, son integrales en las que hay que tener en cuenta la regla de la cadena que comentamos en derivación.

Cuando derivamos una función compuesta tenemos en cuenta la regla de la cadena. Hay que multiplicar por la derivada de la función implícita:

Al integrar llevamos a cabo el proceso contrario.

Si estamos integrando una función compuesta, es imprescindible tener delante la derivada de la función implícita , para poder integrar.

Es decir, debemos transformar la integral para tener delante de la función compuesta, la derivada de la función implícita

Una vez transformada, integramos la función según el tipo de función que sea, teniendo en cuenta que la derivada desaparece.

Vamos a verlo con un par de ejemplos prácticos:

Ejemplo. Integrar la siguiente función:

Es una función del tipo exponencial. La fórmula, como podemos ver en la tabla, es:

Podemos identificar la función implícita, , en este caso como:

Por tanto, necesitamos tener la derivada, delante de la función, tal y como se expresa en la fórmula, para poder integrar.

Tendremos que añadirla, de alguna forma.

Como se trata de una constante, podemos multiplicar y dividir la expresión por la constante 3 para, de esta manera, añadir el valor 3 sin modificar el resultado de la expresión

Como la constante se puede sacar de la integral. Obtenemos exactamente la expresión que veníamos buscando para poder integrar:

Integramos:

Solo se pueden añadir constantes, no funciona si la derivada que buscamos incluye una variable .

Ejemplo. Integrar la siguiente función:

En este caso la función es del tipo:

Siendo:

Por tanto, debemos añadir la constante 2 para tener delante la derivada de la función implícita.

Ya hemos conseguido la forma de la integral buscada:

Integramos:

Solo podemos añadir una constante, no podemos añadir variables (no se pueden sacar de la integral). Si la expresión anterior nos la hubieran dado así:

No podríamos integrarla. Necesitamos delante la derivada , pero no podemos añadir la variable . Por tanto, no sería una integral casi inmediata y tendríamos que encontrar otro método para integrarla.

Tabla de integrales

Expresión	Integral

Ejercicios resueltos

1. Integrar las siguientes funciones.
a)

b)

c)

Solución

a)

Identificamos la función implícita:

El esquema debería ser el siguiente para poder integrar:

Añadimos la derivada multiplicando y dividiendo:

Integramos:

b)

Identificamos la función implícita:

El esquema debería ser el siguiente para poder integrar:

Añadimos la derivada multiplicando y dividiendo:

Sacamos la constante que nos sobra:

Integramos:

c)

Añadimos las derivadas delante:

Integramos:

 

2. Integrar la siguiente función:

Solución

Si subimos el denominador vemos que:

Se trata de una función del tipo:

Identificamos la función implícita y su derivada:

Necesitamos, para poder integrar, la expresión delante de la función. Nos dan la de modo que solo tenemos que añadir el 8.

Integramos:

Si nos la hubieran dado así:

No se puede integrar como una casi inmediata (habría que buscar otro método). No podemos añadir la variable que forma parte de la derivada que necesitamos

3. Integrar la siguiente función:

Solución

Es parecida a la anterior, pero con el denominador elevado a la potencia 1. Será, por tanto, una integral del tipo:

Identificamos la función implícita y la derivada que necesitamos:

Tenemos la que nos dan en el numerador, nos falta la constante 8. Añadimos la constante para poder integrar:

 

3.4. Integrar la siguiente función:

Solución

La función es del tipo:

En integrales de este tipo, casi-inmediatas algo más complicadas, el primer paso fundamental es identificar la función implícita y la derivada que vamos a necesitar para integrar. En este caso:

Por tanto, para integrar tendríamos que añadir la constante 2 y ya podríamos integrar. La del denominador que nos dan forma parte de la derivada.

 

5. Integrar la siguiente función:

Solución

La función a integrar es del tipo:

Identificamos la función implícita y su derivada:

Añadimos la constante 2:

Integramos:

 

6. Integrar la siguiente función:
 

Solución

Como el denominador está elevado a uno, la integral será de tipo logarítmica:

Identificamos la función implícita y la derivada:

Tenemos la derivada completa en la función que nos dan. Es una integral inmediata.

 

7. Integrar la siguiente función:

Solución

Como el denominador está elevado a dos, es un integral tipo polinómica. Subimos el denominador y comparamos:

Identificamos la función implícita y la derivada:

Ya tenemos la derivada en la expresión. Es una integral inmediata:

 

8. Integrar la siguiente función:

Solución

Es fácil identificar que es la derivada de . Es una integral tipo exponencial:

Es una integral inmediata:

 

9. Integrar la siguiente función:

Solución

Si nos fijamos bien, vemos que la función es la derivada de la función . Por tanto, será una integral inmediata del tipo:

Integramos:

 

10. Integramos la siguiente función:

Solución

Es algo más difícil de ver, pero es una integral tipo logarítmica. El denominador está elevado a grado uno y el numerador es (casi) la derivada del denominador.

Identificamos la función implícita y la derivada:

Tenemos casi la derivada en la expresión, nos falta cambiarle el signo. Multiplicamos y dividimos por menos uno.

 

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