Curvatura y puntos de inflexión de funciones

Curvatura de una función.

Estudiar la curvatura de una función consiste en identificar en qué intervalos la función es cóncava o convexa. Para ello, vamos a estudiar el signo de la segunda derivada de la función, .

La segunda derivada de una función representa su curvatura: 

• Si la derivada es positiva, la función es cóncava (contenta).
• Si la derivada es negativa, la función es convexa (triste).

Ejemplo. Estudiar la curvatura de la siguiente función:

Calculamos la primera derivada:

Calculamos la segunda derivada:

La segunda derivada siempre es positiva. Por tanto, la función siempre es cóncava.

Puntos de inflexión

Los puntos de inflexión de una función son los puntos en los que su segunda derivada es igual a cero.

Es importante entender que para calcular el punto hay que sustituir el valor en la función.

Ejercicios resueltos

1. Calcular la curvatura de la siguiente función:

Solución

Calculamos la primera derivada:

Calculamos la segunda derivada:

La función es convexa en el intervalo: .

La función es cóncava en el intervalo:

La función presenta un punto de inflexión en el punto

2. Estudiar la curvatura de la siguiente función:

Solución

Estudiamos el dominio de la función:

Estudiamos la primera derivada:

La segunda derivada no cambia de signo, no hay puntos de inflexión.

La función es convexa en todo su dominio

 

3. Calcular los intervalos de concavidad y convexidad de la siguiente función:

Solución

Estudiamos el dominio de la función:

Calculamos la primera derivada:

Calculamos la segunda derivada:

La función sufre un cambio de curvatura en que corresponde a los puntos donde presenta problemas de dominio, donde tiene asíntotas verticales. No tiene puntos de inflexión.

La función es cóncava (contenta) en el intervalo .

La función es convexa (triste) en el intervalo .

4. Estudiar la curvatura y calcular los puntos de inflexión de la función , sabiendo que:

Solución

Calculamos la segunda derivada:

La función presenta puntos de inflexión en , y .

La función es cóncava (contenta) en .

La función es convexa (triste) en .

Vídeos complementarios