Indeterminación infinito elevado a cero

Definición límite e indeterminación.

Recordemos que se considera indeterminación a aquel límite que, cuando lo resolvemos, llegamos a una solución “no determinada”, es decir, a un resultado que no está definido y que no sabemos “cuánto da”. Tenemos que operar para conocer la solución.

La indeterminaciónse resuelve transformándola en la indeterminación cero entre cero ó infinito entre infinito. Una vez transformada, se podrá resolver por los métodos propios de esas indeterminaciones, incluido L´Hôpital.

Hay que recordar que no es una indeterminación. Cero elevado a cualquier valor siempre es cero.

Resolución. Transformar en infinito entre infinito.

Para transformar la indeterminación en tenemos que aplicar los siguientes pasos:

Identificamos el límite que tenemos que resolver como A, la base del límite como f(x) y el exponente como g(x).

Sabiendo que (propiedad matemática):

Aplicando las propiedades de los logaritmos:

Entonces:

Transformamos la multiplicación del exponente en una división para buscar la indeterminación infinito entre infinito.

Por tanto:

Hemos convertido el límite de la siguiente manera:

Ejemplo resuelto: 

Solución

Aplicamos la siguiente fórmula:

Identificamos la base y el exponente del límite:

Aplicamos la fórmula:

Ya hemos convertido la indeterminación en . Operamos y aplicamos L´Hôpital:

 

Resolución. Transformación en cero entre cero.

Podemos convertir la indeterminación en una 0/0 aplicando las mismas propiedades. En ese caso, la fórmula a aplicar sería:

La única diferencia ha sido que, a la hora de convertir la multiplicación del exponente en una división, hemos hecho la operación contraria a la que hicimos en

Podemos aplicar una u otra, según nos resulte más cómodo a la hora de operar.

Ejercicios resueltos.

1. Resolver el siguiente límite:

 Solución

 

Utilizamos la fórmula previamente razonada:

Aplicamos la fórmula:

Una vez aplicada la fórmula y convertida la indeterminación en una , aplicamos L´Hôpital y resolvemos:

 

2. Resolver el siguiente límite:

Solución

 

La convertimos en aplicando la fórmula:

Hemos aplicado la siguiente propiedad de los logaritmos:

Aplicamos L´Hôpital:

Aplicamos L´Hôpital:

 

3.Resolver el siguiente límite:

Solución

 

Hemos aplicado la siguiente propiedad de los logaritmos.