Integral de la función arcotangente

Integral arcotangente básica. Fórmulas

La mayoría de las integrales tipo arcotangente son inmediatas o casi inmediatas. Sin embargo, debido a su expresión matemática, puede que el “ajuste” sea algo más complejo.

La fórmula general para la integral arcotangente es la siguiente:

Aunque podemos utilizar también la siguiente fórmula, si se diera el caso:

Integrales arcotangentes complejas

Es el tipo de integral arcotangente más compleja. El objetivo es convertirla en una integral arcotangente básica, para ello, tenemos que convertir el polinomio de grado dos del denominador en un binomio del tipo .

Utilizaremos, para ello, la identidad notable: .

Los dos primeros términos solo nos permiten construir el binomio , para llegar a la expresión inicial que tenemos, hay que sumar siete.

Hemos llegado a:

Aplicamos la fórmula e integramos:

Ejercicios resueltos

1. Integrar la siguiente función arcotangente:

Solución

Debe ser igual a la fórmula:

Por tanto, identificamos la función implícita y su derivada:

Nos falta la derivada en el numerador para poder integrar. Multiplicamos y dividimos por la constante:

Sacamos la constante e integramos:

 

2. Integrar la siguiente función arcotangente:

Solución

Ha de ser igual a la expresión:

El segundo sumando del denominador debe estar elevado al cuadrado, por tanto:

Identificamos la función implícita y su derivada:

Añadimos la derivada que nos falta en el denominador e integramos:

 

3. Integrar la siguiente función arcotangente:

Solución

Ha de seguir la forma:

Elevamos el segundo sumando del denominador al cuadrado:

Identificamos la función implícita y su derivada:

Añadimos la constante multiplicando y dividiendo la función:

Integramos:

 

4. Integrar la siguiente función arcotangente:

Solución

Para resolver esta función arcotangente podemos aplicar la fórmula:

Aplicamos la fórmula directamente e integramos:

Otra posibilidad es convertirla en la forma normal de la arcotangente. Operamos paso a paso para que no haya que memorizar la fórmula anterior:

Para ello sacamos como factor común el cuatro del denominador:

Identificamos la función implícita y su derivada:

Añadimos la constante e integramos:

 

5. Integrar la siguiente función arcotangente:

Solución

Se ve claramente que es un tipo arcotangente inmediata:

Integramos:

 

6. Resolver la siguiente integral:

Solución

Es una arcotangente de tipo complejo, tenemos que convertirla en una arcotangente sencilla donde hay que convertir el denominador en un binomio del tipo a través de la igualdad notable. 

Los primeros dos términos solo nos permiten convertir el polinomio en , dado que , para igualarlo al polinomio, tenemos que sumar un 1.

Aplicamos la fórmula:

Donde:

Por tanto: