Asíntotas de una función

Una asíntota es una recta a la que tiende la gráfica de una función. Es un lugar geométrico que nos ayuda a representar la tendencia que sigue una función. 

Asíntotas verticales.

Son rectas verticales del tipo . La función se va acercando a este valor fijo de x conforme tiende a . Se dan siempre en los problemas de dominio de funciones racionales (en los puntos en los que se anula el denominador) y en las funciones logarítmicas.

La función no existe en el punto . Sin embargo, si estudiamos la función en las proximidades del punto tenemos que tiende a .

Tenemos una asíntota vertical en el punto

Asíntotas horizontales.

Son rectas horizontales del tipo La función tiende progresivamente a un valor fijo vertical conforme la x tiende a . 

Estudiamos la tendencia de la función para valores infinitamente grandes (positivos) e infinitamente pequeños (negativos). 

El denominador es infinitamente más grande, por tanto, el cociente y la función tienden a cero.

Tiene una asíntota horizontal en:

Asíntotas oblicuas.

Son rectas con pendiente del tipo . La función tiende a una recta inclinada para valores infinitamente positivos o negativos de la variable x .

Solo hay asíntotas oblicuas cuando no hay asíntotas horizontales. Una función no puede tender simultáneamente a una recta horizontal y a otra oblicua. 

Existen dos formas de calcular las asíntotas oblicuas. Las aplicamos con el siguiente ejemplo:

1. Fórmula. Aplicamos la siguiente fórmula para calcular las componente de la asíntota oblicua:

La ecuación de la asíntota es:

2. Hacemos una división de polinomios:

Hacemos la división de polinomios. El cociente será la asíntota oblicua.

La asíntota oblicua es:

Solo hay asíntota oblicua cuando no hay asíntota horizontal y siempre y cuando el numerador tenga un grado más que el denominador.

Ejercicios resueltos.

1. Calcular las asíntotas de la siguiente función:

Solución

Estudiamos el dominio de la función:

Hay asíntotas verticales en:

1. Asíntotas verticales:

2. Asíntotas horizontales:

Tenemos una asíntota horizontal en:

 

3. No hay asíntotas oblícuas.

 

2. Calcular las asíntotas de la siguiente función:

Solución

Estudiamos el dominio de la función:

Hay una asíntota vertical en:

1. Asíntota vertical :

2. Asíntotas horizontales:

No hay asíntotas horizontales.

3. Asíntota oblicua:

 

3. Calcular las asíntotas de la siguiente función:

Solución

Calculamos el dominio de la función: 

1. Asíntotas verticales: No hay.

2. Asíntotas horizontales:

Hay que tener en cuenta que:  

Hay dos asíntotas horizontales:

3. No hay asíntotas oblicuas:

 

4. Calcular las asíntotas de la siguiente función:

Solución

Estudiamos el dominio de la función:

Presenta asíntotas verticales en y

1. Asíntotas verticales:

2. No hay asíntotas horizontales ni oblicuas; No es una fracción.