Indeterminación cero entre cero

Definición de límite e indeterminación.

Recordemos que se considera indeterminación a aquel límite que, cuando lo resolvemos, llegamos a una solución “no determinada”, es decir, a un resultado que no está definido.

Cada indeterminación tiene un método de resolución específico. La indeterminación cero entre cero se puede resolver factorizando los polinomios, multiplicando y dividiendo por el conjugado o aplicando L´Hôpital.

Resolución del límite: Factorización y conjugado.

1. Resolución por factorización.

Si la indeterminación cero entre cero está compuesta por polinomios, la mejor forma de resolverlo es por factorización. 

Si al sustituir, da cero, significa que el valor de x=2 es solución común de ambos polinomios. Por tanto, al factorizar se obtendrá el mismo factor y podremos simplificarlo.

2.  Resolución por conjugado.

Cuando nos encontramos con raíces resolvemos multiplicando y dividiendo por el conjugado. El objetivo es aplicar la identidad notable para deshacernos de las raíces.

Regla de L´Hôpital.

La regla de L´Hôpital se puede aplicar en indeterminaciones del tipo infinito entre infinito y cero entre cero. Consiste en derivar tanto el denominador como el denominador y aplicar el límite al resultado obtenido. 

Generalmente, al derivar obtenemos una expresión más sencilla y será más fácil resolver el límite de la expresión derivada.

Se suele aplicar L´Hôpital siempre que queramos y muchas veces resulta más sencillo que los métodos “tradicionales”. Además, lo aplicaremos por defecto cuando encontremos funciones “extrañas” (no polinómicas) en los límites. Por ejemplo: trigonométricas, logarítmicas, exponenciales…

Resolvemos el caso anterior para demostrar lo sencillo que sería:

Ejercicios resueltos. 

1. Resolver el siguiente límite: (Resolución por factorización): 

Solución

 

2. Resolver el siguiente límite: (Resolución por conjugado):

 Solución

 

Resolvemos multiplicando y dividiendo por el conjugado siempre y cuando encontremos raíces para así eliminarlas.

 

3. Resolver el siguiente límite: (Resolución por L´Hôpital).

Solución

 

 

4. Resolver el siguiente límite: (Resolución por factorización).

Solución

 

 

5. Resolver el siguiente límite: (Resolución por L´Hôpital).

Solución

 

Aplicamos L´Hôpital porque nos encontramos con funciones “extrañas” del tipo logarítmicas y trigonométricas.

 

6. Resolver el siguiente límite: (Resolución por conjugado).

 Solución

 

Resolvemos multiplicando y dividiendo por el conjugado siempre y cuando encontremos raíces para así eliminarlas.

 

7. Calcular el valor de a para que se cumpla que:

 Solución

 

El resultado del límite tiene que ser igual a 1 (nos lo dan en el enunciado):

 

Vídeo complementario