Calcular la ecuación de la recta tangente

Ecuación punto pendiente

Una de las aplicaciones de las derivadas consiste en calcular la ecuación de la recta tangente a una función en un punto. 

Para calcular la ecuación de la recta tangente, utilizaremos la ecuación punto-pendiente:

Nos permite calcular la ecuación de una recta a partir de su pendiente y un punto por el que pasa (será el punto de tangencia en los ejercicios).

Condiciones de tangencia

Cuando dos funciones son tangentes en un punto se cumplen dos aspectos:

• Ambas funciones tienen la misma pendiente en el punto de tangencia, es decir, sus derivadas en el punto son iguales.

• Ambas funciones pasan por el mismo punto, por tanto, el valor de ambas funciones en el punto coincide.

Si aplicamos estas condiciones a la ecuación punto-pendiente, obtenemos que:

Esto nos permite calcular la ecuación de la recta tangente a partir de la función a la que es tangente.

Ejercicios resueltos

1. Dada la función , calcula los valores que deben tener a,b y c para que se cumplan las siguientes condiciones:

a) Que la gráfica de pase por el punto .

b) Que la recta sea tangente a la gráfica de en el punto de abscisa .

Solución

a) Si la función pasa por el punto (0,4) podemos establecer que:

b) Si la recta es tangente a la función en , se cumplen dos condiciones:

La pendiente de la recta y la pendiente de la función son iguales en ese punto:

Calculamos los valores de los parámetros:

 

2. Dada la función , calcule la ecuación de la recta tangente a la curva que sea paralela a la recta .

Solución

La recta tangente, , es paralela a la recta , por tanto, sus pendientes serán iguales.

La pendiente de la recta tangente es:

Como la recta es tangente a la función , tenemos que:

El punto de tangencia es:

Calculamos la ecuación de la recta tangente:

 

3. Dada la función , calcula los valores que deben tener a, b, c y d para que se cumplan las siguientes condiciones:

a) Que la recta tangente a la gráfica de en el punto sea paralela a la recta .

b) Que la recta sea tangente a la gráfica de en el punto de abscisa .

Si la recta tangente es paralela a la recta , tendrán la misma pendiente:

Cuando dos funciones son tangentes en un punto, sus pendientes son iguales, por tanto, tenemos que:

b) Si la recta es tangente a en el punto de abscisa :

• Sus pendientes en son iguales:

• El valor de ambas funciones en el punto coincide:

Calculamos el valor de los parámetros:

Vídeos complementarios