Posición relativa de dos planos

Posición relativa de dos planos

Estudiar la posición relativa de dos planos consiste en determinar que posición guardan entre sí. Para ello debemos plantearnos: ¿Cómo pueden estar dispuestos dos planos en el espacio?

1. Las planos son paralelos.

2. Las planos son secantes. Se cortan en una recta.

3. Los planos son coincidentes. Se cortan en un plano.

La posición relativa de dos planos depende de la orientación de sus vectores normales. Por tanto, para calcularla, estudiaremos la relación que existe entre sus componentes:

1. Si sus vectores normales no son proporcionales (no paralelos), los planos se van a cortar. Son secantes.

2. Sus vectores normales son proporcionales pero la coordenada del punto no lo es. Los planos son paralelos.

3. Sus vectores normales y la coordenada del punto son proporcionales. Los planos son coincidentes (son el mismo plano).

Ejercicios resueltos

1. Calcular la posición relativa del siguiente par de planos:

Solución

Calculamos los vectores normales y estudiamos su relación:

Los vectores normales no son paralelos, por tanto, los planos se cortan en una recta. Son secantes.

La recta en la que se cortan se puede expresar como la ecuación general formada por los dos planos:

 

2. Calcular la posición relativa de los siguientes planos:

Solución

Estudiamos la relación entre sus coordenadas:

Todas sus coordenadas son proporcionales. Los planos son coincidentes.

 

3. Calcular la posición relativa de los siguientes planos:

Solución

Estudiamos la relación entre sus coordenadas:

Sus vectores normales son proporcionales pero la coordenada del punto no lo es. Los planos son paralelos.

Vídeo complementario