Energía potencial gravitatoria, Potencial gravitatorio y Superficies equipotenciales.

La interacción gravitatoria se puede expresar energéticamente a través de la fuerza conservativa y la energía potencial, donde la fuerza de interacción transmite energía al realizar trabajo sobre un cuerpo desplazado.

Energía potencial

La energía potencial es una magnitud característica de las fuerzas conservativas, que se denota comúnmente por . La variación de la energía potencial está definida por el Teorema de la Energía Potencial. En términos generales, el trabajo realizado por una fuerza conservativa al desplazar su punto de aplicación desde la posición A hasta la posición B se expresa como

“El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la variación de la energía potencial del cuerpo sobre el que actúa, tomando como referencia la energía potencial del punto de partida.”

Algunas observaciones son las siguientes:

• Aplicabilidad del Teorema: El teorema de la energía potencial es aplicable únicamente cuando la fuerza es conservativa. Esto significa que el trabajo realizado por la fuerza depende únicamente de las posiciones inicial y final, y no del camino seguido entre ellas.

• Signo negativo: El trabajo negativo indica que, para mover el cuerpo desde el punto hasta el punto , es necesario realizar un trabajo en contra del campo gravitatorio, es decir, debemos aplicar una fuerza externa para mover el cuerpo, ya que la fuerza gravitatoria se opone al desplazamiento.

• Signo positivo: El trabajo positivo indica que el campo gravitatorio realiza trabajo al mover el cuerpo desde el punto hasta el punto , por lo que la fuerza ayuda en el desplazamiento, liberando energía potencial en forma de energía cinética.

• Teorema de las Fuerzas Vivas: En la mecánica de sólidos rígidos, el trabajo realizado por una fuerza al desplazar su punto de aplicación entre dos posiciones es igual al incremento en la energía cinética del cuerpo sobre el que actúa:

El Teorema de la Energía Potencial es válido únicamente para fuerzas conservativas, mientras que el Teorema de las Fuerzas Vivas es aplicable a todo tipo de fuerzas, tanto conservativas como no conservativas.

Energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria de una masa en un punto de un campo gravitatorio se define como 

Sustituyendo , se sigue que:

Usando la Regla de Barrow y teniendo en cuenta que , resulta:

“La energía potencial es el trabajo necesario para llevar, en presencia de , a la masa desde el punto donde se encuentra hasta el infinito.”

Como observamos, la energía potencial es negativa. Esto significa que el trabajo necesario para alejar una masa de la influencia gravitatoria de otra debe ser realizado por nosotros, es decir, debemos "hacer el trabajo" en contra del campo gravitatorio.

Aplicando el Teorema de la Energía Potencial, se puede obtener el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria entre dos puntos:

Observamos que:

• , por lo que el campo gravitatorio realiza el trabajo necesario.

•  , por lo que el campo gravitatorio no realiza el trabajo necesario.

Cuando es la masa de La Tierra, representa la energía potencial gravitatoria terrestre, siendo negativa y distinta de cero en la superficie (). Al elevar a una altura , su energía potencial es menos negativa. La expresión

se utiliza cuando es muy pequeña en comparación con , permitiendo aproximar la variación de energía potencial como con constante. Por ello, esta fórmula es válida solo para alturas pequeñas donde la intensidad del campo gravitatorio no varía significativamente, y se considera en la superficie terrestre () para simplificar los cálculos.

Potencial gravitatorio

Al calcular la energía potencial de una masa ubicada en el campo de gravedad generado por , si asumimos que corresponde a una unidad de masa, el esfuerzo requerido para trasladar esta unidad desde su posición actual hasta el vacío absoluto se denomina potencial gravitacional:

El potencial gravitacional se expresa en julios por kilogramo (J/kg). Es posible derivar una fórmula que permita determinar el trabajo necesario para desplazar una masa entre dos ubicaciones dentro del campo gravitatorio creado por utilizando los potenciales gravitacionales de dichos puntos:

Superficies equipotenciales.

Las superficies equipotenciales facilitan la comprensión de cómo se distribuye el potencial gravitatorio en el espacio. En el caso de masas puntuales o cuerpos con simetría esférica, todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de la masa que genera el campo presentan el mismo potencial. Al representar estas superficies, es esencial considerar las siguientes características:

• Una superficie equipotencial está compuesta por puntos adyacentes del campo que comparten el mismo valor de potencial.

• Cada punto en el espacio solo puede pertenecer a una única superficie equipotencial, ya que en cada ubicación el potencial gravitatorio tiene un valor específico y único.

• Usualmente, en representaciones gráficas se muestra una sección transversal de las superficies equipotenciales para facilitar su visualización.

• Las superficies equipotenciales demuestran de manera clara que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al mover un objeto entre dos puntos que pertenecen a la misma superficie es nulo, ya que no existe diferencia de potencial (y, por lo tanto, tampoco de energía potencial) entre ellos.

Ejercicios resueltos

1. Se lanza una cápsula verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre con una velocidad inicial de 4500 m/s. Se requiere determinar la altura máxima que alcanzará dicha cápsula, considerando que el radio de la Tierra es de 6400 km.

2. Dos cuerpos de masas m y 2m están separados una distancia d. Razona, con la ayuda de un esquema, si se anula el potencial gravitatorio en algún punto del segmento que los une.

3. En una determinada región del espacio existen dos puntos A y B en los que el potencial gravitatorio es el mismo. ¿Cuál sería el trabajo realizado por el campo gravitatorio al desplazar una masa m desde A hasta B?

4. Razona si la siguiente afirmación es verdadera: “Si en un punto del espacio cerca de dos masas el campo gravitatorio es nulo, también lo será el potencial gravitatorio”.