Ley de la Gravitación Universal de Newton (fuerza gravitatoria)

Isaac Newton dio un gran avance en la comprensión del movimiento planetario al formular en 1666 su Ley de Gravitación Universal, una ley deductiva basada en los principios de Kepler.

Ley de la Gravitación Universal de Newton.

La Ley de la Gravitación Universal de Newton puede enunciarse como sigue:

“Cada partícula de materia ejerce una atracción sobre otra partícula, con una fuerza que es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.”

Matemáticamente, se puede expresar como:

donde:

• es el vector fuerza gravitatoria, cuya unidad en el SI es el Newton (N).

• es la Constante de Gravitación Universal, que tiene el mismo valor para todo el Universo. En el SI:

• y son las masas de los cuerpos involucrados en kilogramos (kg).

• denota la distancia entre los cuerpos en metros (m). Si son cuerpos grandes, la distancia se toma entre los centros de ellos.

• es un vector unitario con dirección a lo largo de la línea que conecta los centros de las dos partículas que ejercen atracción mutua y orientado hacia afuera desde la partícula que genera la fuerza:

Nótese que esta orientación del vector unitario justifica el signo negativo en la expresión vectorial, ya que la dirección de la fuerza gravitatoria es opuesta a la del vector unitario correspondiente.

En la figura anterior se observa que las fuerzas gravitatorias que actúan sobre cada partícula son un par de acción y reacción (según el tercer principio de la dinámica); por lo tanto, tienen el mismo valor, direcciones opuestas y comparten la línea de acción a lo largo de la recta que conecta ambas partículas.

El módulo de la fuerza gravitatoria es

y es siempre un valor positivo.

Campo Gravitatorio

Un campo gravitatorio existe en una región del espacio si una masa en cualquier punto de esa zona experimenta una fuerza gravitatoria. Cada masa genera su propio campo gravitatorio, y, en general, la partícula con mayor masa es la que domina el campo. Por eso, los cuerpos en la Tierra están en el campo gravitatorio terrestre, mientras la Luna está en el de la Tierra y la Tierra en el del Sol, aunque el campo solar también influye a los satélites planetarios de forma menos intensa:

Las características principales de un campo gravitatorio son la intensidad (que describe la fuerza ejercida sobre una masa) y el potencial (relacionado con el trabajo que puede realizar). Aquí exploraremos cómo se define y emplea la intensidad del campo gravitatorio.

Sabemos que el módulo de la fuerza de atracción entre dos masas es:

Por la Segunda Ley de Newton, también se tiene que

donde a denota la aceleración a la que está sometida la masa. Si denotamos e igualamos ambas expresiones, se tiene que:

Entonces, se denomina intensidad de campo gravitatorio (g) que ejerce la masa M en un punto situado a una distancia r de su centro de masa a

y su unidad en el SI es , o .

“La intensidad de campo gravitatorio de una masa M en un punto representa la fuerza que experimentaría una unidad de masa colocada en dicho punto.”

Algunas observaciones importantes son las siguientes:

• La intensidad del campo gravitatorio en un punto se define por la aceleración que un objeto allí experimenta, independientemente de su masa. Depende únicamente de la masa que genera el campo y la distancia al punto en cuestión.

• La dirección de esta intensidad va desde el centro de masa que origina el campo hasta el punto donde se mide, mientras que su sentido apunta hacia ese centro de masa:

siendo un vector unitario con dirección a lo largo de la línea que conecta el centro de la masa que crea el campo gravitatorio con el punto en cuestión, orientado hacia afuera desde dicha masa.

Cuando varias masas crean campos gravitatorios en la misma región, el campo total es la suma vectorial de los campos individuales generados por cada masa. Por el principio de superposición se tiene que:

Finalmente, obsérvese que

Gravedad terrestre

La Ley de Gravitación Universal explica fenómenos como la caída de los cuerpos con la misma aceleración (), independientemente de su masa. De acuerdo con la segunda ley de Newton, los cuerpos aceleran hacia la Tierra debido a su atracción gravitatoria, y esta fuerza de atracción se llama peso. La fórmula para el peso de un cuerpo de masa 𝑚 es , donde 

y representa la aceleración debida a la gravedad. Para la Tierra, con una masa de kg y un radio de m, el valor de la gravedad es:

Es importante tener en cuenta que el valor de la gravedad terrestre varía ligeramente dependiendo de la ubicación geográfica, ya que el radio terrestre es mayor en el Ecuador que en los Polos. Este cambio en el radio implica que el valor de aumenta hacia los Polos, donde es más alto.

La gravedad también disminuye al alejarnos de la superficie terrestre. A alturas pequeñas en relación con el radio de la Tierra, esta variación es insignificante, por lo que se suele considerar constante en estos casos. Por ejemplo, a una altura de sobre la superficie terrestre se tiene que:

La aceleración de la gravedad en un punto depende solo de la masa y el radio del planeta, no de la masa del objeto.

Ejercicios resueltos

1. Calcula a qué altura de la superficie terrestre debemos situarnos para que la intensidad de la gravedad disminuya a . Recuerda que La Tierra tiene una masa de y un radio de . 

Solución

El valor de la intensidad de campo gravitatorio para un punto situado a una altura h sobre la superficie terrestre es:

Despejamos :

Sustituimos los valores dados:

Por lo tanto, a de la superficie terrestre la gravedad disminuye a

2. Calcula la masa del Sol utilizando el período de traslación de la Tierra alrededor del Sol y la distancia promedio entre ambos cuerpos celestes. Recuerda que el período orbital de la Tierra es , y la distancia promedio entre la Tierra y el Sol es .

Solución

 

Para calcular la masa del Sol (, utilizaremos la Ley de Gravitación Universal de Newton y la Segunda Ley de Newton aplicada al movimiento circular de la Tierra alrededor del Sol:

La fuerza gravitatoria que ejerce el Sol sobre La Tierra se expresa mediante la Ley de Gravitación Universal:

El movimiento de la Tierra alrededor del Sol es un movimiento circular uniforme, por lo que la fuerza centrípeta necesaria para mantener esta órbita se calcula mediante la Segunda Ley de Newton:

donde la velocidad orbital () se relaciona con el periodo orbital mediante

Igualando ambas fuerzas:

Sustituyendo los valores dados:

Por lo tanto, la masa del Sol es .

 

3. Calcula la masa de la Tierra utilizando el peso de un cuerpo situado en su superficie y el radio de la Tierra ().

Solución

Para calcular la masa de la Tierra (), utilizaremos la Ley de Gravitación Universal de Newton y la Segunda Ley de Newton aplicada al peso de un cuerpo en la superficie terrestre:

La fuerza gravitatoria que ejerce La Tierra sobre un cuerpo de masa se expresa mediante la Ley de Gravitación Universal:

El peso de un cuerpo de masa 𝑚 en la superficie de la Tierra es la fuerza gravitatoria que actúa sobre él. Según la Segunda Ley de Newton:

,

donde en la superficie terrestre.

Igualando ambas expresiones:

Sustituyendo los valores dados:

Por lo tanto, la masa de La Tierra es .

4. ¿Puede ser nulo el campo gravitatorio en alguna región del espacio cercano a dos partículas sabiendo que la masa de una de ellas es el doble que la de la otra?

Solución

El campo gravitatorio es una magnitud vectorial. Consideremos dos masas, y , separadas por una distancia :

Existe un punto en el espacio entre ellas donde los campos gravitatorios se anulan mutuamente. Aplicando el principio de superposición:

Cancelando términos comunes y resolviendo para $x$:

Por lo tanto, el campo gravitatorio puede ser nulo en una región del espacio cercano a las dos partículas. De hecho, el punto buscado se encuentra a una distancia de respecto la masa pequeña.